calculo diferencial

El calculo diferencial

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función

Historia

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Ellos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy llamamos «diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy(1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.

Aportaciones de Issac Newton y Gottfried Leibniz

Newton (1660), en Inglaterra y Leibniz (1670), en Alemania comparten el credito por el desarrollo del calculo integral y diferencial.

Newton y Leibniz demostraron que los problemas del area y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del calculo

NEWTON:

En 1664, descubrió los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibniz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.  

Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.

En 1711, publicó diversos libros relacionados al Cálculo como analysi per aequationes numero terminorum infinitas. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742.

El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia matemática (1687). 

LEIBNIZ:

En 1684, publica detalles de su Cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus (Nuevos Métodos para Máximos y Mínimos y para las Tangentes). En este artículo aparece la conocida flotación d para las derivadas, las reglas de las derivadas de las potencias, productos y cocientes. Pero no habla demostraciones.

Expuso los principios del calculo infinitesimal; resolviendo el problema de la isócrona & de algunas otras aplicaciones mecánicas; utilizando ecuaciones diferenciales. La mayor aportación de este ilustre personaje fue la aportación del nombre de calculo diferencial e integral; así como la invención de símbolos matematicos para la mejor explicación del cálculo; como el signo = asi como su notación para las derivadas dx/dy & su notación para las integrales. 

*Existía gran rivalidad entre ellos por el hecho de no compartir las mismas ideas filosóficas, además que cada uno decía ser el inventor del Cálculo Diferencial y de la gravitación universal

FERMAT

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601;1 Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».2 

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor. 

Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. 

El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2 también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat 

El pequeño teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la pésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía. 

Pequeño teorema de Fermat, se convirtió en uno de los teoremas más importantes en Matemáticas. No se sabe si Fermat halló realmente la demostración, ya que no dejó rastro de ella para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos (se dice que, frustrado, Euler incluso pidió a un amigo que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de la demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles ayudado por Richard Lawrence Taylor pudo demostrar el teorema. Wiles utilizó para ello herramientas matemáticas que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, de forma que éste debió de encontrar la solución por otro camino.

CONCLUSIÓN

Newton descubrió el calculo cuando estaba abajo de un árbol y la manzana cayo y desde allí se surgieron dudas y empezó a buscar sus respuestas

los dos autores en el mismo año desarrollaron métodos para el calculo muy inversos, que estuvieron en duda de los dos pero nos sirve mucho el calculo a nosotros, puesto que nos ayuda a determinar casi todas las cosas que existen ya que si no supiéramos sacar el tiempo de lo que haces no podrías ponerte una meta para hacer menos para ahorrar tiempo y ocuparlo en otra cosa.

si no estuviera el calculo nunca hubiera una mejora enlas 
cosas las personas no quisieran mejorar el producto y siempre seria el mismo no hubiera cosas mejores

EJEMPLOS  EN LA  VIDA REAL

ESTADISTICA

• determinar cuantas personas viven en una localidad como lo hace la INEGI para tener una estadística de la localidad
• determinar cuantas personas son mayores de edad para que los tengan considerados para las votaciones 
• para saber el deporte de cada persona o su preferencia para tener esas areas existentes

MEDICINA

• determinar la cantidad del medicamento para determinar el tiempo que el suero se va a acabar para poder ver  que el gotero sea mas rápido y se pueda acabar mas pronto
• cuanto tiempo tarda una rehabilitación y con eso determinar si existe algún método que pueda ir mas rápido la enfermedad
• determinar el tiempo de gestación para saber la fecha que su bebe va a nacer y que este bien de salud

EDUCACIÓN

• calcular la demanda de las carreras para así determinar que carrera esta menos demandada para poder estudiar y poder encontrar con mas facilidad algún trabajo
• la evaluación de los profesores para determinar si es eficiente o deficiente su rendimiento
• para determinar el numero de alumnos dentro de una institución 

TRANSPORTES

• calcular cuanto tiempo te haces en ir de un lugar a otro y ver las rutas en donde t hagas mas tiempo
• calcular el dinero que gastas en los pasajes y ver cuanto ahorras si no tomas camiones y te vas a pie 
• determinar cunto tiempo te ahorras en los diferntes transportes para asi verificar el tiempo menor que duran para ahorrarte tiempo

QUÍMICA

• calcular el porcentaje de sustancia que se le puede aumentar a un medicamento para que sea mas rápido su reacción
• calcular la cantidad que necesita alguna planta par que de frutos en menos tiempo
• determinar la cantidad de carbohidratos, proteínas o alguna sustancia dentro de algún alimento para así evitar daños a la salud

ADMINISTRACIÓN

• saber cuantos empleados tienes  en una área para ver si con menos personas puedes seguir haciendo el área para no pagar mas salarios 
• calcular el material que se necesita para realizar algún producto y no comprar mas para que no existan desperdicios
• calcular el tiempo veremos reflejada alguna inversión y si podemos hacer algo en beneficio para que se vea antes

INGENIERÍA

• calcular el nivel de productividad para así determinar cual es la productividad en un ciclo 
• calcular si el producto va ocasionar satisfacción en los clientes para que aumente los ingresos de la empresa
• calcular el tiempo que tarda en sacarla producción un área para así determinar la fecha exacta de la entrega al cliente

PROBABILIDAD

• sacar el promedio de unos alumnos de cierto grado para saber el nivel académico o intelectual del grupo
• cuales son las probabilidades de ganar en un juego de azar
• sacar la perdida de  un producto elaborado para saber que cantidad no sirve y reducir nuestra productividad

GASTRONOMÍA

• calcular a que temperatura durara menos tiempo en salir del horrno una comida
• la cantidad que se le puede aumentar a un pastel para que tenga un mejor sabor y consistencia
• la cantidad de comida que se requiere para abastecer un restauran y que no desperdiciemos un exceso de comida

FÍSICA

• calcular los desplazamientos que haces para anotar una canasta en un juego de basquetbol y reducirlos para obtener mas tiempo
• la velocidad que va el acensor  para saber el tiempo que duraras al subir
• calkcular elk tiempo de vuelo de un avion al desplazarse de un lugar a otro